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特集：

2008/05/12 日記<ブラック-ショールズ方程式>

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ブラック-ショールズ方程式

ブラック-ショールズ方程式（ぶらっく-しょーるずほうていしき）とはデリバティブ（金融派生商品）の価格づけに現れる偏微分方程式（及びその境界値問題）のことである。
ブラック-ショールズモデルは1973年にフィッシャー・ブラック（Fischer Black）とマイロン・ショールズ（Myron Scholes）が共同で発表した理論であり、このモデルを使って当時の懸案であったヨーロピアン・コール（及びプット）オプション（満期日にのみ権利を行使できるオプション）のオプション・プレミアムを計算してみせた。後にロバート・マートンが彼らの方法に厳密な証明を与えた。これらの理論は現代金融工学のさきがけとなったとも言われる。

ブラック-ショールズモデル

ブラック-ショールズモデルとは、1 種類の配当のない株券|株と 1 種類の債券の 2 つが存在する証券市場のモデルで、時刻 ''t'' における株価 ''S_t'' と債券価格 ''B_t'' が
: $dS\_t\; =\; S\_t(\backslash sigma\; dW\_t\; +\; \backslash mu\; dt)$
: $B\_t\; =\; \backslash exp(rt)$
: $r,\; \backslash sigma,\; \backslash mu$は定数
: $W\_t$は標準ブラウン運動
を満たすものをいう。この σ をボラティリティ、μ をドリフトという。 ボラティリティは株価の変動の激しさを表し、ドリフトは株価の平均増加率を表すと解釈できる。
ここで、発展的可測な適合過程の組 (''a_t''(''ω''), ''b_t''(''ω'')) （0≦''t''≦''T''） を取る。''a_t''(''ω'') は ''t'' 時点で状態が ''ω'' の場合の株式の保有量、''b_t''(''ω'') は同債券の保有量である。
この組 (''a'', ''b'') を、株式と債券の取引戦略という。区間 [0, ''T''] における取引戦略 (''a'', ''b'') が自己資本充足的であるとは、任意の 0≦''t''≦''T'' に対し、
: $a\_t\; +\; b\_t\; =\; a\_0\; +\; b\_0\; +\; \backslash int\_0^t\; a\_s\; dS\_s\; +\; \backslash int\_0^t\; b\_s\; dB\_s$
を満たすことである。

ブラック-ショールズ方程式

ブラック-ショールズ方程式の導出

このモデルの下、満期 ''T'' において行使価格が ''K'' であるヨーロッパ型コールのオプション料 ''C'' = ''C''(''S''_''t'', ''t'') を考える。
区間 [0, ''T''] で自己資本充足的な取引戦略 (''a'', ''b'') を、''T'' 時点で ''C'' の価値が
: $C\_t\; =\; a\_t\; S\_t\; +\; b\_t\; B\_t$
となる様に定める。 これを複製ポートフォリオ（英：replicating portfolio）という。
上式右辺の自己充足性により、
: $dC\_t\; =\; a\_t\; dS\_t\; +\; b\_t\; dB\_t\; =\; (\backslash mu\; a\_t\; S\_t\; +\; r\; b\_t\; B\_t)dt\; +\; \backslash sigma\; a\_t\; S\_t\; dW\_t$
である。
他方、''C'' は伊藤の補題により、
: $dC\_t\; =\; \backslash frac\{\backslash partial\; C\}\{\backslash partial\; t\}\; dt\; +\; \backslash frac\{\backslash partial\; C\}\{\backslash partial\; S\_t\}\; dS\_t\; +\; \backslash frac\; \{\backslash sigma^2\}\{2\}\; S\_t^2\backslash frac\{\backslash partial^2\; C\}\{\backslash partial\; S\_t^2\}\; dt$
:: $=\; \backslash left(\backslash frac\{\backslash partial\; C\}\{\backslash partial\; t\}\; +\; \backslash mu\; S\_t\; \backslash frac\{\backslash partial\; C\}\{\backslash partial\; S\_t\}\; +\; \backslash frac\; \{\backslash sigma^2\}\{2\}\; S\_t^2\; \backslash frac\{\backslash partial^2\; C\}\; \{\backslash partial\; S\_t^2\}\; \backslash right)\; dt\; +\; \backslash sigma\; S\_t\; \backslash frac\{\backslash partial\; C\}\{\backslash partial\; S\_t\}\; dW\_t$
を満たすから、双方の式の右辺を等置し、
: $a\_t\; =\; \backslash frac\{\backslash partial\; C\}\{\backslash partial\; S\_t\}$
: $\backslash mu\; a\_t\; S\_t\; +\; r\; b\_t\; B\_t\; =\; \backslash frac\{\backslash partial\; C\}\{\backslash partial\; t\}\; +\; \backslash mu\; S\_t\; \backslash frac\{\backslash partial\; C\}\{\backslash partial\; S\_t\}\; +\; \backslash frac\; \{\backslash sigma^2\}\{2\}\; S\_t^2\; \backslash frac\{\backslash partial^2\; C\}\; \{\backslash partial\; S\_t^2\}$
である。 ''a_t''、''b_t'' を消去し、
ブラック・ショールズ方程式
: $rC\; =\; \backslash frac\{\backslash partial\; C\}\{\backslash partial\; t\}\; +\; \{1\; \backslash over\; 2\}\backslash sigma^2\; S\_t^2\; \backslash frac\{\backslash partial^2\; C\}\{\backslash partial\; S\_t^2\}\; +\; rS\_t\backslash frac\{\backslash partial\; C\}\{\backslash partial\; S\_t\}$
が得られる。 ここで、境界条件は、
: ''C''(0, ''t'') = 0 for any ''t'' ≤ ''T''
: ''C''(''S''_''t'', ''t'') ∼ ''S''_''t'' as ''S''_''t'' → ∞ for any ''t'' ≤ ''T''
: ''C''(''S''_''t'', ''T'') = max{''S''-''K'', 0}
である。ただし、''r'' は無リスク利子率とする。

ブラック-ショールズ方程式の解

方程式において、
: $C(S,T)\; =\; e^\{r(t\; -\; T)\}\; u(S,T)$
: $z\; =\; \backslash frac\{\backslash log\; \backslash frac\{S\}\{K\}\; +\; (r\; -\; \backslash frac\{\backslash sigma^2\}\{2\})(T\; -\; t)\}\{\backslash sigma\}$
: $s\; =\; T\; -\; t$
と変数変換すると、
: $\backslash frac\{\backslash partial\; u\}\{\backslash partial\; s\}\; =\; \{1\; \backslash over\; 2\}\; \backslash frac\{\backslash partial^2\; u\}\{\backslash partial\; z^2\}$
という一次元熱伝導方程式（拡散方程式）の初期値問題となる。
この方程式を解き、元の変数に戻すと、ブラック-ショールズ方程式の解は
:$C(S\_t,t)\; =\; S\_t\backslash ,N(d\_1)\; -\; Ke^\{-r(T-t)\}\; N(d\_2)$
で与えられる。ただし、
:$N(x)\; =\backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\{2\; \backslash pi\}\}\; \backslash int\_\{-\backslash infty\}^\{x\}\; e^\{-\backslash frac\{y^2\}\{2\}\}\backslash ,dy,$
:$d\_1\; =\; \backslash cfrac\{\backslash log\backslash bigg(\backslash cfrac\{S\_t\}\{K\}\backslash bigg)+\backslash bigg(r+\backslash cfrac\{\backslash sigma^2\}\{2\}\backslash bigg)(T-t)\}\{\backslash sigma\; \backslash sqrt\{T-t\}\},$
:$d\_2\; =\; \backslash cfrac\{\backslash log\backslash bigg(\backslash cfrac\{S\_t\}\{K\}\backslash bigg)+\backslash bigg(r-\backslash cfrac\{\backslash sigma^2\}\{2\}\backslash bigg)(T-t)\}\{\backslash sigma\; \backslash sqrt\{T-t\}\}$
である。これが「適正価格」と呼ばれる背景としては、上述のとおり株と債券を使ってヨーロピアン・コールオプションを複製することができるという事実から来ている。このように、無裁定価格理論においては、ある金融商品の価格はそれを複製するのに必要な元手である、と考えることが多い。

実務への応用

米系投資銀行ソロモンブラザーズ(現シティグループ)は、1980年代には既にこのモデルを実際の金融商品のプライシングに応用していたと言われている。

関連項目

デリバティブ

プットコール・パリティ

確率微分方程式、数理ファイナンス、金融工学

伊藤の補題

伊藤の公式

Quotation:Wikipedia - Article - History 　License:GFDL

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