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特集：

2008/05/03 日記<ボラティリティ>

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ボラティリティ

金融工学においてボラティリティ（volatility）とは広義には、資産価格の変動の激しさを表すパラメータ。狭義には株価の幾何ブラウン運動モデル
:$dS\_t=S(t)(\backslash sigma\; dW(t)+\backslash mu\; dt)\; .....(1)$
における$\backslash sigma$のこと。シグマ。$S(t)$が株価を表す場合、時間の単位を1年単位にすると、
通常ボラティリティは の範囲にあることが経験的に知られている。

ヒストリカル・ボラティリティとインプライド・ボラティリティ

幾何ブラウン運動モデル(ブラック-ショールズ方程式)で現実の市場を説明しようとする際、インプットとして使うデータの種類によって$\backslash sigma$の値が異なる。

ヒストリカル・ボラティリティ

株価の値動きがモデル(1)に従うと仮定し、過去の株価のデータから推定した$\backslash sigma$の値。
過去$n$日にわたって株価を観測したとし、$S\_i$を第$i$日の(例えば)終値とする。
:$u\_i:=\backslash log\; \backslash frac\{S\_i\}\{S\_\{i-1\}\},\backslash \; \backslash \; \backslash overline\{u\}:=u\_i$の平均
と置くと
:$s=\backslash sqrt\{\backslash frac\{1\}\{n-1\}\backslash sum\_\{i=1\}^n(u\_i-\backslash overline\{u\})^2\}$
が推定値となる。このような手続きによって推定された値をヒストリカル・ボラティリティという。

インプライド・ボラティリティ

これに対して、現実のオプション市場でついたオプション価格から逆算されたボラティリティをインプライド・ボラティリティという。
以下これについて説明する。ブラック-ショールズモデル(1)(金利は$r=$一定)を使えば、満期$T$、権利行使価格$K$のヨーロピアン・コールオプションの価格$c(K,T)$は:$C(K,T)=SN\backslash left(\backslash frac\{\backslash log\; (S/K)+(r+\backslash sigma^2/2)T\}\{\backslash sigma\backslash sqrt\{T\}\}\backslash right)$
-Ke^{-rT}N\left(\frac{\log (S/K)+(r-\sigma^2/2)T}{\sigma\sqrt{T}}\right)
:$S$は現在の株価、$N(x)$は標準正規分布の分布関数によって表される。しかしこの式の$\backslash sigma$をヒストリカル・ボラティリティにすると多くの場合、計算される$C(K,T)$は現実のオプションの市場価格とは一致しない。そこで逆に、$\backslash sigma$に関する方程式（$C(K,T)$は$\backslash sigma$の関数であることに注意）
:市場価格$=C(K,T)$
を解いて得られる$\backslash sigma$をインプライド・ボラティリティという。なお、この値は当然$K$や$T$によって異なる。$T$を固定して、横軸に$K$、縦軸にインプライド・ボラティリティをプロットしたグラフをボラティリティ・スマイル、$K$を固定して、横軸に$T$、縦軸にインプライド・ボラティリティをプロットしたものをボラティリティ期間構造と呼ぶ。

関連項目

金融工学

数理ファイナンス

ブラック-ショールズ方程式

参考文献

John Hull, "Options, Futures, and other derivatives", Prentice Hall

Quotation:Wikipedia - Article - History 　License:GFDL

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